问答题

已知数集 A = \lbrace a_1,a_2,\dots, a_n\rbrace (1 \leq a_1 < a_2 < \dots < a_n, n \geq 2) 具有性质P:对任意的i,j, (1\leq i \leq j \leq n), a_i a_j \dfrac{a_j}{a_i} 两数中至少有一个属于A;

分别判断数集 A = \lbrace 1,3,4\rbrace \lbrace 1,2,3,6\rbrace 是否具有性质P,并说明理由;

证明: a_1 = 1 a_1 = 1 \dfrac{a_1+a_2+\dots+ a_n} {a_1^{-1}+a_2^{-1}+\dots+a_n^{-1}} = a_n

n= 5 时,若 a_2= 2, 求集合A。

Peng Liu 在 1 年前创建

数集 \lbrace 1,3,4\rbrace 不具有性质P, \lbrace 1,2,3,6\rbrace 具有性质P

i=j=n 时, a_n a_n \notin A,

\enspace\therefore \dfrac{a_n}{a_n} = 1\in A

同理,当j=n 时, a_i a_n \notin A, \dfrac{a_n}{a_i}\in A

\because a_1 < a_2 < \dots < a_n

\therefore \dfrac{a_n}{a_2} = a_{n-1},

\enspace \enspace \dfrac{a_n}{a_3} = a_{n-2},\dots

\enspace \enspace \dfrac{a_n}{a_{n-2}} = a_3,

\enspace \enspace \dfrac{a_n}{a_{n-1}} = a_2


\therefore \dfrac{a\_1+a\_2+\dots + a_n} {a\_1^{-1}+a\_2^{-1}+\dots+a\_n^{-1}}

= \dfrac{a_n (a\_1+a\_2+\dots+ a_n)} {\dfrac{a_n}{a\_1}+\dfrac{a_n}{a\_2}+\dots+\dfrac{a_n}{a\_n}}

= a_n

n= 5 时, a_2= 2


\dfrac{a_5}{a_2} = a_4 \to a_5=2a_4
(a)


\dfrac{a_5}{a_3} = a_3 \to a_5 = a_3^2
(b)

同理,当 n= 4 时, a_2= 2

\dfrac{a_4}{a_3} = a_2 \to a_4=2a_3
(c)

由(a), (b), (c)式计算a_3,a_4,a_5, 因而,集合A为\lbrace 1,2,4,8,16\rbrace

Peng Liu 在 1 年前创建

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