已知数集 A = \lbrace a_1,a_2,\dots, a_n\rbrace (1 \leq a_1 < a_2 < \dots < a_n, n \geq 2) 具有性质P：对任意的i,j, (1\leq i \leq j \leq n), a_i a_j 与 \dfrac{a_j}{a_i} 两数中至少有一个属于A；
分别判断数集 A = \lbrace 1,3,4\rbrace 与 \lbrace 1,2,3,6\rbrace 是否具有性质P,并说明理由；
证明： a_1 = 1 且 a_1 = 1 且 \dfrac{a_1+a_2+\dots+ a_n} {a_1^{-1}+a_2^{-1}+\dots+a_n^{-1}} = a_n
当 n= 5 时,若 a_2= 2, 求集合A。
数集 \lbrace 1,3,4\rbrace 不具有性质P， \lbrace 1,2,3,6\rbrace 具有性质P
当i=j=n 时， a_n a_n \notin A,
\enspace\therefore \dfrac{a_n}{a_n} = 1\in A
同理，当j=n 时， a_i a_n \notin A, \dfrac{a_n}{a_i}\in A
\because a_1 < a_2 < \dots < a_n
\therefore \dfrac{a_n}{a_2} = a_{n-1},
\enspace \enspace \dfrac{a_n}{a_3} = a_{n-2},\dots
\enspace \enspace \dfrac{a_n}{a_{n-2}} = a_3,
\enspace \enspace \dfrac{a_n}{a_{n-1}} = a_2
\therefore \dfrac{a\_1+a\_2+\dots + a_n} {a\_1^{-1}+a\_2^{-1}+\dots+a\_n^{-1}}
= \dfrac{a_n (a\_1+a\_2+\dots+ a_n)} {\dfrac{a_n}{a\_1}+\dfrac{a_n}{a\_2}+\dots+\dfrac{a_n}{a\_n}}
= a_n
当 n= 5 时, a_2= 2
同理，当 n= 4 时, a_2= 2
由(a), (b), (c)式计算a_3,a_4,a_5, 因而，集合A为\lbrace 1,2,4,8,16\rbrace